Примеры обработки результатов измерений

12. Примеры обработки результатов измерений

12.1. Пример обработки прямых равноточных измерений

Пусть при измерениях проведено 10 отсчетов расстояния, пройденного телом за определенное время. Измерения проводились линейкой с ценой деления 1 см. Результаты измерения представлены в таблице 5.

Таблица 5

Результаты измерения расстояния

 

п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
, см	105	100	105	65	90	110	110	115	135	120

 

1. Определяем инструментальную погрешность. Условия измерений и применение измерительной линейки позволяет сделать вывод, что инструментальная погрешность равна цене деления шкалы, т. е.

 

см.

 

2. Зададим доверительную вероятность и для данного количества отсчетов по таблице 2 определим коэффициент доверия (Коэффициент Стьюдента) .

3. Вычислим среднее значение расстояния:

 

;

 

см.

 

 

4. Округляем полученное число до целого значения, используя правило IV:

см.

 

5. Вычисляем среднее квадратичное отдельных отсчетов по формуле

.

 

.

 

6. Округляем полученное число до целого числа, что соответствует точности измерительного прибора

 

см.

 

7. Проверяем отсчеты на наличие промахов. Наибольшее отклонение от среднего значения имеет отсчет под номером 4 - см. Вычисляем нормированное отклонение от среднего значения:

 

.

 

8. По таблице 4 находим, что количество отсчетов (опытов), при котором рассмотренное значение нельзя считать промахом равно 17. В нашем опыте всего 10 отсчетов, поэтому значение см является промахом и его нужно исключить из обрабатываемого ряда.

Теперь получаем новый набор отсчетов и проводим их обработку.

 

Таблица 6

Результаты измерения расстояния после удаления первого промаха

 

п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9
, см	105	100	105	90	110	110	115	135	120

 

Теперь у нас . Выберем доверительную вероятность и по таблице 2 найдем коэффициент доверия или коэффициент Стьюдента, получаем .

Вычисляем новое среднее значение:

 

.

 

Вычисляем среднее квадратичное значение среднего значения по формуле

.

 

Округляем это значение до целого числа и получаем . Такое значение среднеквадратичного отклонения результата измерения говорит о том, что среди результатов измерений имеются еще промахи, так как оно содержит две значащие цифры.

Проверим, не является ли промахом результат . Для этого найдем значение по формуле (7.3):

 

.

 

По таблице 4 значению соответствует значение . Это значит, что рассмотренный нами отсчет также является промахом и его нужно отбросить.

Теперь таблица состоит из результатов восьми измерений.

 

Таблица 7

Результаты измерения расстояния после удаления второго промаха

 

п/п	1	2	3	4	5	6	7	8
, см	105	100	105	90	110	110	115	120

 

Как и прежде, вычисляем новое среднее значение расстояния:

 

.

Округляем эту величину до целого значения, получаем . Наибольшее отклонение от этого среднего значения имеет результат измерения . Проверим, является ли этот результат измерения промахом.

Вычисляем среднее квадратичное значение среднего значения по формуле (6.4)

 

.

 

Теперь вычислим по формуле (7.3):

 

.

 

Как мы знаем, данному значению соответствует , а у нас измерений всего восемь. Это означает, что данный результат измерения также является промахом и его надо отбросить.

Теперь получается таблица из семи результатов измерений.

 

Таблица 8

Результаты измерения расстояния после удаления третьего промаха

 

п/п	1	2	3	4	5	6	7
, см	105	100	105	110	110	115	120

 

Повторяем уже известные расчеты:

 

.

 

.

 

Проверим, не является ли промахом значение .

 

.

Полученному значению соответствует , а у нас число измерений равно 7, поэтому данное значение нельзя считать промахом. Очевидно, что остальные значения проверять не имеет смысла, так как им будет соответствовать еще меньшее значение , а значит, они не будут промахами.

Таким образом, можно окончательно сказать, что . Теперь вычислим :

.

 

Надежности и соответствует коэффициент Стьюдента . Тогда находим .

Теперь вычисляем полную абсолютную погрешность:

 

.

Вычислим относительную погрешность .

Таким образом, результат измерения расстояния имеет вид:

 

; ; .

12.2. Пример обработки прямых неравноточных измерений.

 

Пусть, например, при измерении времени, за которое тело проходит некоторый постоянный путь, проведено пять серий измерений. После обработки отсчетов каждой серии были получены следующие результаты:

 

.

 

Теперь необходимо объединить эти неравноточные измерения. Для решения этой задачи будем использовать формулу (9.2). Для этого найдем статистический вес каждого измерения:

 

; ;

 

; ; .

 

Находим среднее значение измеряемой величины:

 

.

 

.

 

Округляем полученный результат с учетом числа значащих цифр в результатах обработки отсчетов отдельный серий измерений:

 

.

 

Находим оценку абсолютной погрешности:

 

.

 

Округляем результат с учетом количества значащих цифр: .

Вычисляем относительную погрешность:

 

.

Записываем результат измерения:

 

.

 

12.3. Пример обработки косвенных измерений

 

Пусть, например, необходимо определить мощность электрического тока на некотором сопротивлении. При этом с помощью прямых измерений получены значения напряжения и сопротивления:

 

; ;

; .

Мощность электрического тока определяется по формуле: . Вычислим среднее значение мощности электрического тока:

 

.

Здесь при округлении учтено, что наименьшее число значащих цифр в результатах измерения равно двум. Это цифры, которыми определено сопротивление.

Теперь определим абсолютную погрешность этого косвенного измерения. Это можно сделать тремя способами.

Первый способ определения абсолютной погрешности косвенного измерения состоит в том, что сначала определяют значения частных производных. Затем вычисляются погрешности от каждого аргумента, и, наконец, определяется полная абсолютная погрешность, а затем и относительная погрешность. Применим эти рассуждения к нашему примеру.

1. Находим частные производные и вычисляем их значения при средних значениях аргументов:

 

.

 

.

 

2. Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента:

 

.

 

.

 

3. Вычисляем полную абсолютную погрешность:

 

.

 

4. Вычисляем относительную погрешность:

 

.

 

5. Запишем результат данного косвенного измерения:

 

.

 

Второй способ определения абсолютной погрешности косвенного измерения состоит в том, что сначала определяют приращения измеряемой величины по ее аргументам, а затем вычисляется полная абсолютная погрешность и относительная погрешность. Применим этот способ к нашему примеру.

1.Найдем приращения функции по ее аргументам:

 

;

.

 

2. Вычислим полную абсолютную погрешность:

 

.

 

3. Вычисляем относительную погрешность:

 

.

 

4. Записываем результат измерения:

 

; .

 

Третий способ состоит в том, что сначала можно определить относительную погрешность:

 

.

 

1. Прологарифмируем выражение для мощности:

 

.

 

2. Найдем приращение логарифма мощности:

 

.

 

Здесь вместо знака «минус» ставим на знак «плюс», чтобы определить максимальную абсолютную погрешность, которая определяется положительной величиной.

3. Вычисляем относительную погрешность:

 

.

 

4. Выразим относительную погрешность в процентах: .

5. По относительной погрешности найдем абсолютную погрешность:

 

.

 

6. Записываем окончательный результат:

 

.

 

При вычислении абсолютной и относительной погрешности косвенных измерений можно пользоваться любым методом, но наиболее обоснованными являются первые два метода. Поэтому они для нас будут предпочтительными. Кроме того, третий метод хорошо используется только в случае если формула, определяющая величину, представляет собой дробь или произведение некоторых величин.

Как видно из всех приведенных выше примеров, абсолютная погрешность имеет всего одну значащую цифру.